Cho tứ diện ABCD, gọi \({G_1};{G_2};{G_3}\) lần lư...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh \(\left( {{G_1}{G_2}{G_2}} \right)//\left( {MNP} \right) \Rightarrow \) Cách dựng thiết diện.

+) Chứng minh thiết diện vừa dựng được là tam giác đồng dạng với tam giác BCD.

+) Sử dụng tính chất: Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Giải chi tiết:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD. Ta có:

\(\eqalign{  & {{A{G_1}} \over {AM}} = {{A{G_2}} \over {AN}} = {{A{G_3}} \over {AP}} = {2 \over 3}  \cr   &  \Rightarrow {G_1}{G_2}//MN,\,\,{G_2}{G_3}//NP \Rightarrow \left( {{G_1}{G_2}{G_2}} \right)//\left( {MNP} \right) \cr} \)

Qua \({G_1}\) kẻ \(B'C'//BC\,\,\left( {B' \in AB,C' \in AC} \right)\)

Qua \({G_2}\) kẻ \(C'D'//DC\,\,\left( {D' \in AD} \right)\)

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi  \(\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)\) là \(\Delta B'C'D'\)

Ta có: \({{B'C'} \over {BC}} = {{A{G_1}} \over {AM}} = {2 \over 3} \Rightarrow \Delta B'C'D'\) đồng dạng với \(\Delta BCD\) theo tỉ số \({2 \over 3}\).

\( \Rightarrow {{{S_{\Delta B'C'D'}}} \over {{S_{\Delta BCD}}}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^2} = {4 \over 9}\).

Chọn A.