Cho a là số thực dương lớn hơn 1 và \(x=\sqrt{a+\s...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Vì a > 1 nên \({{a}^{2}}>1\Rightarrow x=\sqrt{a+\sqrt{{{a}^{2}}-1}}+\sqrt{a-\sqrt{{{a}^{2}}-1}}\)có nghĩa và x > 0

Ta có: \({{x}^{2}}=\left( \sqrt{a+\sqrt{{{a}^{2}}-1}}+\sqrt{a-\sqrt{{{a}^{2}}-1}} \right)=a+\sqrt{{{a}^{2}}-1}+2\sqrt{a+\sqrt{{{a}^{2}}-1}}.\sqrt{a-\sqrt{{{a}^{2}}-1}}+a-\sqrt{{{a}^{2}}-1}\)

Hay \({{x}^{2}}=2(a+1)\Rightarrow -{{x}^{3}}=-2(a+1)x\); (nhân thêm hai vế với \(-x\))

Thế vào biểu thức \(P={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2(a+1)x+4a+2021\) \(P={{x}^{3}}-2\left[ 2(a+1) \right]-{{x}^{3}}+4a+2011=-4a-4+4a+2021=2017\)

Vậy \(P=2017\) khi \(x=\sqrt{a+\sqrt{{{a}^{2}}-1}}+\sqrt{a-\sqrt{{{a}^{2}}-1}}\)