Tổng các nghiệm của phương trình \({{\left( x-1 \r...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi đưa về phương trình tích rồi sử dụng hàm số.

Giải chi tiết:

Ta có \({{\left( x-1 \right)}^{2}}{{2}^{x}}=2x\left( {{x}^{2}}-1 \right)+4\left( {{2}^{x-1}}-{{x}^{2}} \right)\)\(\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=2{{x}^{3}}-2x+4.\frac{{{2}^{x}}}{2}-4{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}\left( {{x}^{2}}-2x+1-2 \right)=2{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-2x\)

\(\Leftrightarrow {{2}^{x}}\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)-2x\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-2x \right)\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 2x = 0\\{x^2} - 2x - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 2x = 0\,\,\left( * \right)\\x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Xét phương trình (*):\({{2}^{x}}-2x=0\).

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{2}^{x}}-2x\Rightarrow {f}'\left( x \right)={{2}^{x}}.\ln 2-2=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{2}{\ln 2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{2}{\ln 2}\).

Ta có BBT của \(f\left( x \right)\).

Ta có \(f\left( {{\log }_{2}}\left( \frac{2}{\ln 2} \right) \right)=\frac{2}{\ln 2}-2+2{{\log }_{2}}\ln 2<0\) nên đường thẳng \(y=0\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{2}^{x}}-2x\) tại hai điểm.

Hay phương trình (*) có hai nghiệm. Nhận thấy \(x=1;x=2\) là hai nghiệm của phương trình (*).

Vậy tổng nghiệm của phương trình ban đầu là \(1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1+2=5\).

Chọn B.