Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) nội tiếp đường...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh DEKF là hình bình hành.

Giải chi tiết:

Gọi P là giao điểm BD và phân giác trong góc C. Q là giao điểm của AC và phân giác trong góc B. K là trung điểm BC. J là giao điểm của EK và AC. D' là điểm đối xứng với D qua O.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {B{\rm{DD}}'} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}\\\frac{1}{2}(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB}) = {90^0}\end{array}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}\widehat {DBQ} + \widehat {B{\rm{DD}}'} + \widehat {QBC} = {90^0} \Leftrightarrow \widehat {DBQ} + \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ABC} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {DBQ} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\end{array}\)

Mà tứ giác DEKB nội tiếp nên: \(\widehat {DKE} = \widehat {DBQ} = \frac{1}{2}\widehat {BCA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE).

Gọi G là giao điểm của phân giác trong của góc C và EK ta có \(\widehat {DBQ} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \widehat {BCG}\). Mà \(\widehat {DBQ} = \widehat {DKE}\) (tứ giác BDEK nội tiếp) \( \Rightarrow \widehat {DKE} = \widehat {BCG}\).

Lại có \(\widehat {DKE} + \widehat {GKC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BCG} + \widehat {GKC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {CGK} = {90^0} \Rightarrow CG \bot EK\).

Tam giác KJC có CP là phân giác nên đây cũng đồng thời là đường cao nên cân tại C.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CP \bot EK\\CP \bot DF\end{array} \right. \Rightarrow DF//EK\)

Chứng minh tương tự ta có: DE // FK.

Từ đó suy ra DFKE là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh đối song song)

Mà H là trung điểm của EF nên H là trung điểm của DK.

Từ đó D, H, K thẳng hàng.

Lại có DK là đường trung trực của BC

Nên H cũng nằm trên đường trung trực đó, vậy H cách đều B và C.