Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 3}}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\)

Đặt ẩn phụ \(t = \tan x\)

Giải chi tiết:

\({{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^4}x}} = {{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}}.{1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right).{1 \over {{{\cos }^2}x}}\)

Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\) , đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr   x = {\pi  \over 3} \Rightarrow t = \sqrt 3  \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{t^2}\left( {{t^2} + 1} \right)dt}  = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^4} + {t^2}} \right)dt}  = \left. {\left( {{{{t^5}} \over 5} + {{{t^3}} \over 3}} \right)} \right|_0^{\sqrt 3 } = {{9\sqrt 3 } \over 5} + \sqrt 3  = {{14} \over 5}\sqrt 3  \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 14 \hfill \cr   b = 5 \hfill \cr   c = 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow abc = 210\)

Chọn A.