Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi số phức, áp dụng BĐT Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết:

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x;y} \right) \in R\) và gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức z.

Gọi \(A\left( { - 1;0} \right);\,\,B\left( {1;0} \right)\), khi đó \(T = \left| {z + 1} \right| + 2\left| {z - 1} \right| = MA + 2MB\).

Ta có \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\,\,\left( C \right) \Rightarrow \)M thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) bán kính bằng 1.

Dễ thấy \(A;B \in \left( C \right)\)và \(AB = 2 \Rightarrow AB\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\).

\( \Rightarrow \widehat {AMB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)\( \Rightarrow \Delta MAB\) vuông tại M.

Áp dụng định lí Pitago ta có: \(M{A^2} + M{B^2} = A{B^2} = 4\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\({T^2} = {\left( {MA + 2MB} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {2^2}} \right)\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 5.4 = 20 \Rightarrow T \le 2\sqrt 5 \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow MA = \frac{{MB}}{2} \Leftrightarrow 2MA = MB\).

Vậy \(\max T = 2\sqrt 5 \).

Chọn A.