Cho mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và chứa đường...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lấy điểm M bất kì thuộc đường thẳng d, gọi \(\overrightarrow n \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta có \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\).

\(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right);\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow k } \right)} \right| = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}}\).

Giải chi tiết:

Lấy điểm \(M\left( {1; - 3;2} \right) \in d\), \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;3;1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng d.

Gọi \(\overrightarrow n \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta có \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 9;3;9} \right)\).

\(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó ta có  \(\cos \left( {\left( P \right);\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow k } \right)} \right| = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {{\left| 9 \right|} \over {\sqrt {{{\left( { - 9} \right)}^2} + {3^2} + {9^2}} }} = {{3\sqrt {19} } \over {19}}\).

Chọn D.