Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dự đoán và chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học sau đó tìm số hạng thứ 50.

Giải chi tiết:

Ta có: \({u_1} = {1 \over 2}\)

\(\eqalign{  & {u_2} = {u_1} + 2.2 = {1 \over 2} + 4 = {1 \over 2} + 2.2  \cr   & {u_3} = {u_2} + 2.3 = {1 \over 2} + 4 + 6 = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3} \right)  \cr   & {u_4} = {u_3} + 2.4 = {1 \over 2} + 4 + 6 + 8 = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + 4} \right)  \cr   & ... \cr} \)

Dự đoán số hạng tổng quát \({u_n} = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \ge 2\)

Chứng minh bằng quy nạp:

(*) đúng với n = 2.

Giả sử (*) đúng đến \(n = k \ge 2\) , tức là \({u_k} = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right)\), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + 1} \right)\).

Ta có: \({u_{k + 1}} = {u_k} + 2\left( {k + 1} \right) = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right) + 2\left( {k + 1} \right) = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + k + 1} \right)\).

Vậy (*) đúng với mọi \(n \ge 2\).

Mặt khác ta có \(1 + 2 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} \Leftrightarrow 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} - 1\)

Khi đó số hạng \({u_{50}} = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + 50} \right) = {1 \over 2} + 2\left( {{{50.51} \over 2} - 1} \right) = 2548,5\)

Chọn B.