So sánh \({{{a^n} + {b^n}} \over 2}\) và \({\left(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết bài toán.

Giải chi tiết:

Với n = 1 ta có \({{a + b} \over 2} = {{a + b} \over 2}\), do đó loại đáp án A.

Với n = 2, chọn bất kì a = 1, b = 2 ta có: \({{{a^n} + {b^n}} \over 2} = {{{1^2} + {2^2}} \over 2} = {5 \over 2},\,\,{\left( {{{a + b} \over 2}} \right)^n} = {\left( {{{1 + 2} \over 2}} \right)^2} = {9 \over 4} \Rightarrow {{{a^n} + {b^n}} \over 2} > {\left( {{{a + b} \over 2}} \right)^n} \Rightarrow \) Đáp án A sai.

Ta chứng minh đáp án C đúng với mọi \(a \ge 0,b \ge 0,n \in N*\) bằng phương pháp quy nạp.

Với n = 1 mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng đến n = k \(\left( {k \ge 1} \right) \Leftrightarrow {{{a^k} + {b^k}} \over 2} \ge {\left( {{{a + b} \over 2}} \right)^k}\,\,\left( 1 \right)\)

Ta phải chứng minh \({{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \over 2} \ge {\left( {{{a + b} \over 2}} \right)^{k + 1}}\)

Thật vậy, ta nhân 2 vế của (1) với \({{a + b} \over 2} > 0\) ta có:

\(\eqalign{  & {{{a^k} + {b^k}} \over 2}{{a + b} \over 2} \ge {\left( {{{a + b} \over 2}} \right)^k}{{a + b} \over 2} = {\left( {{{a + b} \over 2}} \right)^{k + 1}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}} \over 4} \ge {\left( {{{a + b} \over 2}} \right)^{k + 1}}\,\,\left( 2 \right) \cr} \).

Do \(a \ge 0,b \ge 0\). Nếu \(a \ge b \ge 0 \Rightarrow \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\), nếu \(0 \le a \le b \Rightarrow \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\,\,\,\forall a \ge 0,b \ge 0  \cr   &  \Rightarrow {a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} \ge {a^k}b + a{b^k} \Rightarrow {{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}} \over 4} \le {{{a^{k + 1}} + {a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \over 4} = {{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \over 2} \cr} \).

Từ (2) suy ra \({{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \over 2} \ge {\left( {{{a + b} \over 2}} \right)^{k + 1}}\), do đó mệnh đề đúng đến n = k + 1.

Vậy mệnh đề đúng với mọi n, a, b thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn B.