Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên [a;...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét từng đáp án, sử dụng định lí: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\).

Giải chi tiết:

Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 5.\) Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) và liên tục trên đoạn đó, đồng thời \(f\left( { - 3} \right).f\left( 3 \right) = 16 > 0\) nhưng phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 5 = 0\) có nghiệm \(x =  \pm \sqrt 5  \in \left( { - 3;3} \right)\)

Đáp án B sai vì thiếu điều kiện \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\).

Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  x + 1\,\,\,khi\,\,x < 0 \hfill \cr   x + 2\,\,khi\,\,x \ge 0 \hfill \cr}  \right.\). Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\), có nghiệm \(x =  - 1\) thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\) nhưng gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in \left( { - 3;3} \right)\) nên không liên tục trên khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\).

Đáp án D đúng. Thật vậy:

+ Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nên \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

TH1: \(\left\{ \matrix{  f\left( a \right) > 0 \hfill \cr   f\left( b \right) > 0 \hfill \cr   f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)

TH2: \(\left\{ \matrix{  f\left( a \right) < 0 \hfill \cr   f\left( b \right) < 0 \hfill \cr   f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow f\left( x \right) < 0\).

Vậy không có giá trị nào của x để \(f\left( x \right) = 0\), hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).

Chọn D.