Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a.\) Trên hai tia \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết:

Tam giác \(AMN\) có \(AM=\frac{a\sqrt{5}}{2};\,\,AN=a\sqrt{2};\,\,MN=\frac{3a}{2}.\)

Tam giác \(CMN\) có \(CM=\frac{a\sqrt{5}}{2};\,\,CN=a\sqrt{2};\,\,MN=\frac{3a}{2}.\)

Suy ra \(\Delta \,AMN=\Delta \,CMN.\)

Kẻ \(AH\bot MN\,\,\,\left( H\in MN \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot BN\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {BMND} \right) \Rightarrow AC \bot MN\\ \Rightarrow MN \bot \left( {ACH} \right) \Rightarrow CH \bot MN\end{array}\)

Do đó \(\widehat{\left( \left( AMN \right);\left( CMN \right) \right)}=\widehat{AHC}=\varphi .\)

Xét tam giác AMN có:

\(\begin{array}{l}\cos \widehat {MAN} = \frac{{A{M^2} + A{N^2} - M{N^2}}}{{2AM.AN}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{4} + 2{a^2} - \frac{{9{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \sin \widehat {MAN} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\\ \Rightarrow {S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN.\sin \widehat {MAN} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a\sqrt 2 .\frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3{a^2}}}{4}\end{array}\)

Diện tích \(\Delta \,AMN\) là \(S=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow AH=\frac{2.S}{MN}=a\) mà \(AC=a\sqrt{2}.\)

Suy ra tam giác \(AHC\) vuông cân tại H. Vậy \(\varphi ={{90}^{0}}.\)

Chọn B.