Trong không gian Oxyz cho ba điểm

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho ba điểm $A (- 1; 2; 2)$ , $B (3; - 1; - 2)$ và $C (- 4; 0; 3)$ . Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức $|\vec{I A} - 2 \vec{I B} + 5 \vec{I C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $I (- \frac{37}{4}; 0; \frac{19}{4})$

B. $I (- \frac{27}{4}; 0; \frac{21}{4})$

C. $I (\frac{37}{4}; 0; - \frac{23}{4})$

D. $I (\frac{25}{4}; 0; - \frac{19}{4})$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Gọi M là điểm thỏa mãn

$\begin{array}{l} \vec{M A} - 2 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = 0 \\ \Leftrightarrow M (- \frac{27}{4}; 1; \frac{21}{4}) \end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l} |\vec{I A} - 2 \vec{I B} + 5 \vec{I C}| \\ = |\vec{I M} + \vec{M A} - 2 \vec{I M} + 5 \vec{I M} + 5 \vec{M C}| \\ = |4 \vec{I M} + \vec{0}| = 4 |\vec{I M}| \end{array}$

Biểu thức $|\vec{I A} - 2 \vec{I B} + 5 \vec{I C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow |\vec{I M}|$ nhỏ nhất => I là hình chiếu của M trên mặt phẳng $(O x z) \Leftrightarrow I (- \frac{27}{4}; 0; \frac{21}{4})$ .

Bài toán tổng quát: Trong không gian cho các điểm $A_{1}, A_{2},..., A_{n}$ và mặt phẳng $(P)$ . Tìm điểm I trên mặt phẳng $(P)$ sao cho biểu thức $|k_{1} \vec{I A_{1}} + k_{2} \vec{I A_{2}} + ... + k_{n} \vec{I A_{n}}|$ đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó $k_{1}, k_{2},..., k_{n}$ là những số thực và $\sum_{i = 0}^{n} k_{i} \neq 0$ .

Cách giải:

- Tìm điểm M thỏa mãn $k_{1} \vec{M A_{1}} + k_{2} \vec{M A_{2}}$ $+ ... + k_{n} \vec{M A_{n}} = 0$ .

- Khi đó $|k_{1} \vec{I A_{1}} + k_{2} \vec{I A_{2}} + ... + k_{n} \vec{I A_{n}}|$ $= |(\sum_{i = 1}^{n} k_{i}) \vec{I M}|$ .

- Do đó $|k_{1} \vec{I A_{1}} + k_{2} \vec{I A_{2}} + ... + k_{n} \vec{I A_{n}}|$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow |\vec{I M}|$ nhỏ nhất => I là hình chiếu vuông góc của M trên $(P)$ .

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

↑

Trong không gian Oxyz cho ba điểm

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A−1;2;2, B3;−1;−2 và C−4;0;3. Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức IA→−2IB→+5IC→ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho ba điểm $A (- 1; 2; 2)$ , $B (3; - 1; - 2)$ và $C (- 4; 0; 3)$ . Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức $|\vec{I A} - 2 \vec{I B} + 5 \vec{I C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.