Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai...

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi $V_{1}$ là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{V_{1}}{V}$ ?

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $\frac{1}{3}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác $S A C \Rightarrow M N$ đi qua G

$\frac{V_{1}}{V} = \frac{1}{2} (\frac{V_{S A M N}}{V_{S A B D}} + \frac{V_{S M N P}}{V_{S B D C}}) = \frac{1}{2} (\frac{S M}{S D} . \frac{S N}{S B} + \frac{S P}{S C} . \frac{S M}{S D} . \frac{S N}{S B}) = \frac{3}{4} x . y$

$\frac{V_{1}}{V} = \frac{1}{2} (\frac{V_{S A P N}}{V_{S A C B}} + \frac{V_{S A M P}}{V_{S A D C}}) = \frac{1}{2} (\frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} + \frac{S M}{S D} . \frac{S P}{S C}) = \frac{1}{4} (x + y)$

Với $x = \frac{S N}{S B}; Y = \frac{S M}{S D}$

$\Rightarrow 3 x y = x + y \geq 2 \sqrt{x y} \Leftrightarrow 9 x^{2} y^{2} \geq 4 x y \Leftrightarrow \frac{3}{4} x y \geq \frac{1}{3}$

Vậy $\frac{V_{1}}{V}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là D

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết !!

↑