Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ thỏa mãn $f\left(x\right)+f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x . \cos x$, với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$ và$f\left(0\right)=0$. Giá trị của tích phân ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x.f\text{'}\left(x\right)dx$ bằng

A. $-\frac{\pi }{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{\pi }{4}$

D. $-\frac{1}{4}$