Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \(\left(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc, đưa về phương trình lượng giác cơ bản, dựa vào khoảng nghiệm xác định nghiệm cụ thể và tính tổng các nghiệm.

Giải chi tiết:

Ta có \({{\sin }^{4}}\frac{x}{2}+{{\cos }^{4}}\frac{x}{2}=\frac{5}{8}\Leftrightarrow {{\left( {{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+{{\cos }^{2}}\frac{x}{2} \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}.{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}=\frac{5}{8}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}x=\frac{5}{8}\Leftrightarrow 1-\frac{1}{4}\left( 1-\cos 2x \right)=\frac{5}{8} \\  & \Leftrightarrow \cos 2x=-\,\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \,\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \\  & \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}. \\ \end{align}\)

Mà \(x\in \left( 0;2\pi  \right)\) nên \(0<\pm \,\frac{\pi }{3}+k\pi <2\pi \)\(\Rightarrow x=\left\{ \frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3};\frac{5\pi }{3} \right\}.\)

Vậy tổng các nghiệm cần tính là \(\sum{x}=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}=\frac{12\pi }{3}=4\pi .\)

Chọn B