Cho \(\angle xOy = {90^0}\). Trên Ox lấy điểm A cố...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh \(\angle ONM = \angle AIO\), sử dụng định lí góc ngoài của tam giác và tổng 3 góc trong một tam giác.

- Chứng minh \(\Delta AIO \sim \Delta FNO\,\,\left( {g.g} \right)\), từ đó suy ra \(\dfrac{{OF}}{{OA}} = \dfrac{{ON}}{{OI}}\).

- Tính tỉ số \(\dfrac{{ON}}{{OI}}\) nhờ sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, từ đó chứng minh OF không đổi và suy ra điểm F cố định.

Giải chi tiết:

Gọi tâm đường tròn nội tiếp AOB là I.

Giả sử tia phân giác Om của \(\angle xOy\) cắt MN tại F .

Ta có BM = BN (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \Delta BMN\) cân tại B, do đó:

\(\begin{array}{l}\angle ONM = {180^0} - \angle BNM\\\angle ONM = {90^0} + {90^0} - \angle BNM\\\angle ONM = {90^0} + \dfrac{{\angle B}}{2}\end{array}\)

Xét tam giác OAI ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AIO = {180^0} - \angle IOA - \angle OAI\\\angle AIO = {180^0} - \dfrac{{\angle O}}{2} - \dfrac{{\angle A}}{2}\\\angle AIO = {180^0} - \dfrac{{\angle O + \angle A}}{2}\\\angle AIO = {180^0} - \dfrac{{{{180}^0} - \angle B}}{2}\\\angle AIO = {90^0} + \dfrac{{\angle B}}{2}\end{array}\)

Do đó \(\angle ONM = \angle AIO\).

Xét tam giác AIO và tam giác FNO có:

\(\begin{array}{l}\angle AIO = \angle ONM = \angle ONF\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle IOA = \angle NOF\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AIO \sim \Delta FNO\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{OF}}{{OA}} = \dfrac{{ON}}{{OI}}\end{array}\)  

Vì OB tiếp xúc với (I) tại N trên \(IN \bot OB\), do đó tam giác OIN vuông tại N.

\( \Rightarrow \cos \angle ION = \dfrac{{ON}}{{OI}} = \cos {45^0} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{OF}}{{OA}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow OF = \dfrac{{OA}}{{\sqrt 2 }} = \) hằng số.

Mà O cố định. Vậy F cố định hay MN đi qua F cố định.