Giải phương trình nghiệm nguyên \(5{x^2} - 4xy + {...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tách \(5{x^2} = 4{x^2} + {x^2}\) sau đó đưa về tổng 2 bình phương và áp dụng \({A^2} + {B^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A = 1\\B = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}5{x^2} - 4xy + {y^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4{x^2} - 4xy + {y^2} - 6x + 9 = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {2x - y} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} = 1\\{\left( {2x - y} \right)^2} = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 3 =  \pm 1\\y = 2x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\2x - y =  \pm 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 4;y = 8\\x = 2;y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3;y = 5\\x = 3;y = 7\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là \(\left( {4;8} \right);\,\,\left( {2;4} \right);\,\,\left( {3;5} \right);\,\,\left( {3;7} \right)\).

Chọn D.