Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC. Kẻ đư...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Co-si.

Giải chi tiết:

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\), S là diện tích \(\Delta CMN\).

Ta có: \(S = {S_{OCM}} + {S_{OCN}} = \dfrac{1}{2}\left( {CM + CN} \right).r\).

Do đó: \(\dfrac{S}{r} = \dfrac{1}{2}\left( {CM + CN} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

Theo bất đẳng thức Co-si ta có: \(\dfrac{1}{2}\left( {CM + CN} \right) \ge \sqrt {CM.CN} \,\,\left( 2 \right)\).

Mặt khác \(\left( {CM + CN} \right) \ge 2S\,\,\,\left( 3 \right)\).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{S}{r} = \dfrac{1}{2}\left( {CM + CN} \right) \ge \sqrt {CM.CN}  \ge \sqrt {2S} \).

Vậy \(S \ge \sqrt {2S} .r\).

\(\begin{array}{l}{S^2} \ge 2S.{r^2}\\S \ge 2{r^2}\end{array}\)

Vậy S nhỏ nhất là bằng \(2{r^2}\) khi \(CM = CN\).

Tam giác CMN cân tại đỉnh C, có CO là phân giác nên \(CO \bot MN\).

Vậy nên \(CO \bot MN\) tại O thì tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất.