Chứng minh rằng số có dạng \({n^6} - {n^4} + 2{n^3...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng nguyên lí “kẹp”.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} = {n^2}\left( {{n^4} - {n^2} + 2n + 2} \right) = {n^2}\left[ {{n^2}\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) + 2\left( {n + 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {n^2}\left( {n + 1} \right)\left( {{n^3} - {n^2} + 2} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\left[ {\left( {{n^3} + 1} \right) - \left( {{n^2} - 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {n^2}\left( {n + 1} \right)\left[ {\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right) - \left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {n^2}{\left( {n + 1} \right)^2}\left( {{n^2} - 2n + 2} \right)\end{array}\)

Mà \({n^2} - 2n + 2 = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1 > {\left( {n - 1} \right)^2}\) và \({n^2} - 2n + 2 = {n^2} - 2\left( {n - 1} \right) < {n^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {n - 1} \right)^2} < {n^2} - 2n + 2 < {n^2}\). Suy ra \({n^2} - 2n + 2\) không phải một số chính phương.

Vậy số có dạng \({n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2}\) không phải số chính phương.\(\)