Chứng minh rằng nếu \(x = 2 - \sqrt 3 \) là nghiệm...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất về nghiệm của đa thức.

Giải chi tiết:

Giả sử \(2 - \sqrt 3 \) là một nghiệm của phương trình \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bx + a = 0\). Khi đó

\(a{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^4} + b{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^3} + c{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} + b\left( {2 - \sqrt 3 } \right) + a = 0\).

Chia hai vế cho \(\dfrac{1}{{{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^4}}}\) ta được:

\(a + b.\dfrac{1}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} + c.\dfrac{1}{{{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}} + b.\dfrac{1}{{{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^3}}} + a.\dfrac{1}{{{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^4}}} = 0\)

hay

\(a{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^4} + b{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^3} + c{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} + b\left( {2 + \sqrt 3 } \right) + a = 0\).

Vậy \(x = 2 + \sqrt 3 \) cũng là nghiệm của phương trình \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bx + a = 0\).