Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mớ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định hàm parabol, sử dụng công thức tính thể tích vật thể giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) khi quay xung quanh trục Ox: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

+) Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R:\,\,V = \pi {R^2}h\).

Giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ như sau:

+) Gọi phương trình parapol là \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\).

\(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {10;0} \right),\,B\left( {0;20} \right)\) và nhận \(x = 10\) là trục đối xứng nên ta có hệ phương trình :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}100a + 10b + c = 0\\c = 20\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{5}\\b =  - 4\\c = 20\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,y = \frac{1}{5}{x^2} - 4x + 20 = \frac{1}{5}{\left( {x - 10} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} = 5y \Leftrightarrow x - 10 =  \pm \sqrt {5y}  \Leftrightarrow x = 10 \pm \sqrt {5y} \end{array}\).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục Ox, Oy là \({V_1} = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left( {10 - \sqrt {5y} } \right)}^2}dy}  = \frac{{1000\pi }}{3}\)

+) Thể tích khối trụ có chiều cao \(h = 5\), bán kính \(R = 10\) là \({V_2} = \pi {10^2}.5 = 500\pi \).

Vậy thể tích chiếc mũ là \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{1000\pi }}{3} + 500\pi  = \frac{{2500\pi }}{3}\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Chọn B.