Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Dựng hình hộp chữ nhật \(SB'C'D'.ABCD\), xác định góc giữa \(BD\) và \(\left( {SBC} \right)\) (nhỏ hơn \({90^0}\)) là góc giữa \(BD\) và hình chiếu của nó trên \(\left( {SBC} \right)\).

- Sử dụng các kiến thức hình học đã học ở lớp dưới tìm \(\sin \alpha \).

Giải chi tiết:

Qua \(B,C,D\) lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với đáy.

Dựng hình hộp chữ nhật \(SB'C'D'.ABCD\) như hình vẽ.

Dễ thấy mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) được mở rộng thành mặt phẳng \(\left( {SBCD'} \right)\).

Tam giác \(D'DC\) có \(D'D = DC = a\) và \(\widehat D = {90^0}\) nên vuông cân tại \(D\)

Gọi \(J\) là trung điểm của \(CD'\) thì \(DJ \bot CD'\)

Ta có: \(BC \bot \left( {D'DCC'} \right) \Rightarrow BC \bot DJ\). 

Mà \(DJ \bot CD'\) nên \(DJ \bot \left( {BCD'S} \right)\) hay \(J\) là hình chiếu của \(D\) lên \(\left( {SBC} \right)\).

Do đó \(\widehat {\left( {BD,\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BD,BJ} \right)} = \widehat {JBD}\) (vì \(\widehat {JBD} < \widehat {BJD} = {90^0}\))

Xét tam giác \(BJD\) vuông tại \(J\) có:\(DJ = \dfrac{1}{2}CD' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2},BD = \sqrt {C{D^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}}  = 2a\)

Nên \(\sin \alpha  = \sin \widehat {JBD} = \dfrac{{DJ}}{{BD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}:2a = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy \(\sin \alpha  = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Chọn A.