Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho hai hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\)và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\), \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)và hai đường thẳng \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a;{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}b\)khi quay quanh trục Ox là:

  \(V=~\pi \int_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}(x)-{{g}^{2}}(x) \right|dx}\)

Giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}X = x - 1\\Y = y - 1\end{array} \right.\). Ta được hệ trục tọa độ \(OXY\) như hình vẽ:

Ta có: \(y = \sqrt x  \Leftrightarrow Y + 1 = \sqrt {X + 1}  \Leftrightarrow Y = \sqrt {X + 1}  - 1\)

Thể tích cần tìm là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int_0^3 {{{\left( {\sqrt {X + 1}  - 1} \right)}^2}dX}  = \pi \int_0^3 {\left( {X + 2 - 2\sqrt {X + 1} } \right)dX} \\\,\,\,\,\, = \pi \left. {\left( {\frac{1}{2}{X^2} + 2X - \frac{4}{3}\left( {X + 1} \right)\sqrt {X + 1} } \right)} \right|_0^3\\\,\,\,\,\, = \pi \left. {\left( {\frac{1}{2}{X^2} + 2X - \frac{4}{3}\left( {X + 1} \right)\sqrt {X + 1} } \right)} \right|_0^3\\\,\,\,\,\, = \pi \left[ {\left( {\frac{9}{2} + 6 - \frac{{32}}{3}} \right) - \left( { - \frac{4}{3}} \right)} \right] = \frac{{7\pi }}{6}\end{array}\)

Chọn: C