Đặt điện áp \({u_{AB}} = 120\sqrt 2 \cos 100\pi t\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây thuần cảm: \({U_L} = \dfrac{{U.{Z_L}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }}\)

Định lí Vi – et: \({x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\)

Bất đẳng thức Cô – si: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\))

Giải chi tiết:

Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây thuần cảm là:

\(\begin{array}{l}{U_L} = \dfrac{{U.{Z_L}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }} = kU\\ \Rightarrow \dfrac{{{Z_L}^2}}{{{k^2}}} = {R^2} + {\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)^2}\\ \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{{{k^2}}} - 1} \right){Z_L}^2 + 2{Z_C}{Z_L} - \left( {{R^2} + {Z_C}^2} \right) = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Áp dụng định lí Vi – et cho phương trình (*), ta có: \({Z_{{L_1}}}.{Z_{{L_2}}} = \dfrac{{{R^2} + {Z_C}^2}}{{1 - \dfrac{1}{{{k^2}}}}}\)

Mà \(8R = {\omega ^3}C{L_1}{L_2} \Rightarrow {\omega ^2}{L_1}{L_2} = {Z_{{L_1}}}{Z_{{L_2}}} = \dfrac{{8R}}{{\omega C}} = 8R{Z_C}\)

\( \Rightarrow 8R{Z_C} = \dfrac{{{R^2} + {Z_C}^2}}{{1 - \dfrac{1}{{{k^2}}}}} \Rightarrow 1 - \dfrac{1}{{{k^2}}} = \dfrac{1}{8}.\dfrac{{{R^2} + {Z_C}^2}}{{R{Z_C}}} = \dfrac{1}{8}.\left( {\dfrac{R}{{{Z_C}}} + \dfrac{{{Z_C}}}{R}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{R}{{{Z_C}}} + \dfrac{{{Z_C}}}{R} \ge 2\sqrt {\dfrac{R}{{{Z_C}}}.\dfrac{{{Z_C}}}{R}}  = 2\\ \Rightarrow 1 - \dfrac{1}{{{k^2}}} \ge \dfrac{1}{8}.2 = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {\left( {1 - \dfrac{1}{{{k^2}}}} \right)_{\min }} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {k_{\min }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

Vậy \({U_{{L_1}\min }} = {U_{{L_2}\min }} \Leftrightarrow {k_{\min }}\)

\( \Rightarrow {U_{{L_1}\min }} = {k_{\min }}.U = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.120 = 80\sqrt 3 \,\,\left( V \right)\)

Chọn D.