Có bao nhiêu giá trị nguyên của\(m\) để phương trì...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng biến đổi \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin x + \cos x\).

- Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

- Cô lập \(m\), lập BBT của vế còn lại và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết:

\(\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - m = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + \sin x + \cos x - m = 0\).

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì ...

Khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 1 + t - m = 0 \Leftrightarrow {t^2} + t - 1 = m\) (*).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) để phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 1\) ta có BBT:

Từ BBT \( \Rightarrow  - \dfrac{5}{4} \le f\left( t \right) \le 1 + \sqrt 2 \,\,\forall t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Suy ra phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{4} \le m \le 1 + \sqrt 2 \).

Kết hợp điều kiện \(m\) nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).

Chọn B