Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm C nằm...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\) là tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đó chứng minh đẳng thức đề bài yêu cầu.

Giải chi tiết:

1. \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}={{90}^{0}}\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow \widehat{NMD}=\widehat{NCD}={{90}^{0}}\)

Do đó tứ giác MNCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng \({{180}^{0}}\) )

2. Xét hai tam giác AMD và BCD có \(\widehat{AMD}=\widehat{BCD}={{90}^{0}}\) ,\(\widehat{ADM}=\widehat{BDC}\) (đối đỉnh) Nên \(\Delta AMD\sim \Delta BCD\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BD}\Rightarrow AM.BD=AD.BC\)

3.

+) Xét tam giác NAC và NBM có: \(\widehat{CNA}\) chung \(\widehat{NAC}=\widehat{NBM}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC)

Suy ra \(\Delta NAC\sim \Delta NBM\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{NA}{NB}=\frac{NC}{NM}\)(2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

+) Xét tam giác NAB và NCM có: \(\widehat{ANB}\) chung \(\frac{NA}{NB}=\frac{NC}{NM}\)(cmt)

Suy ra \(\Delta NAB\sim \Delta NCM\left( c.g.c \right)\) \(\Rightarrow \widehat{NAB}=\widehat{NCM}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{NCM}=\widehat{NDM}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung NM) suy ra\(\widehat{NAB}=\widehat{NDM}\)

Vì tứ giác AMDI nội tiếp nên \(\widehat{NAB}+\widehat{MDI}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{NDM}+\widehat{MDI}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{NDI}={{180}^{0}}\)

Vậy N, D, I thẳng hàng.