Cho số phức thỏa mãn \(\left| z-2i \right|\le \lef...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(z = a + bi,\,\left( {a,b \in } \right).\) là số phức cần tìm. Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ điều kiện đẳng thức, bất đẳng thức cho Sử dụng điều kiện trên để đánh giá và tìm giá trị lớn nhất của P

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng \(z = a + bi,\,\left( {a,b \in } \right).\)  Khi đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 2i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \\\left| {z - 4i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 4i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\\left| {z - 3 - 3i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 3 - 3i} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \\\left| {z - 2} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array} \right.\)

Từ giả thiết ta suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \le \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {b - 2} \right)^2} \le {\left( {b - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b - 2 \le b - 4\,\,\left( {VN} \right)\\b - 2 \le - b + 4\end{array} \right.\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \le 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right..\)

Từ\({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} \le 1 \Rightarrow 2 \le a \le 4 \Rightarrow 0 \le a - 2 \le 2.\)

Do đó \(P = \left| {z - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2}}  \le \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} .\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} = {2^2}\\b = 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right..\)

Chọn đáp án C.