Cho đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tham số hóa tọa độ điểm \(I \in \left( d \right)\).

+) Mặt cầu có tâm \(I\) nằm trên \(d\) và tiếp xúc với 2 mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right);\left( {{P_2}} \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( {{P_1}} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {{P_2}} \right)} \right) = R\)

Giải chi tiết:

\(I\left( {2t + 1;t + 2;2t + 3} \right) \in d\).

Mặt cầu có tâm \(I\) nằm trên \(d\) và tiếp xúc với 2 mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right);\left( {{P_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\\ \Rightarrow \frac{{\left| {2t + 1 + 2t + 4 + 4t + 6 - 2} \right|}}{3} = \frac{{\left| {4t + 2 + t + 2 + 4t + 6 - 1} \right|}}{3} = R\\ \Leftrightarrow \left| {8t + 9} \right| = \left| {9t + 9} \right| = 3R\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8t + 9 = 9t + 9\\8t + 9 =  - 9t - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - \frac{{18}}{{17}}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = 0 \Rightarrow I\left( {1;2;3} \right)\) và \(R = 3 \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\)

Với \(t =  - \frac{{18}}{{17}} \Rightarrow I\left( { - \frac{{19}}{{17}};\frac{{16}}{{17}};\frac{{15}}{{17}}} \right)\) và \(R = \frac{3}{{17}}\) \( \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x + \frac{{19}}{{17}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{16}}{{17}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{15}}{{17}}} \right)^2} = \frac{9}{{289}}\)  .

Chọn C.