Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đổi cận \(t =  - x\), biến đổi ta được \( \Rightarrow I = \int\limits_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 2}} {\cos xf\left( { - x} \right)dx} \)

Làm xuất hiện tổng \(f\left( { - x} \right) + 2f\left( x \right)\) và thay tổng đó bằng \(\cos x\)

Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = {{1 + \cos 2x} \over 2}\)

Giải chi tiết:

Đặt \(t =  - x \Rightarrow dt =  - dx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x =  - {\pi  \over 2} \Rightarrow t = {\pi  \over 2} \hfill \cr   x = {\pi  \over 2} \Rightarrow t =  - {\pi  \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow I =  - \int\limits_{{\pi  \over 2}}^{ - {\pi  \over 2}} {\cos \left( { - t} \right)f\left( { - t} \right)dt}  = \int\limits_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 2}} {\cos xf\left( { - x} \right)dx} \)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow I + 2I = \int\limits_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 2}} {\cos x.f\left( { - x} \right)dx}  + 2\int\limits_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 2}} {\cos x.f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 2}} {\cos x\left( {f\left( { - x} \right) + 2f\left( x \right)} \right)dx}   \cr   &  \Leftrightarrow 3I = \int\limits_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx}  = \int\limits_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 2}} {{{1 + \cos 2x} \over 2}dx}  = \left. {\left( {{1 \over 2}x + {{\sin 2x} \over 4}} \right)} \right|_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 2}} = {\pi  \over 4} + {\pi  \over 4} = {\pi  \over 2}  \cr   &  \Rightarrow I = {\pi  \over 6} \cr} \)

Chọn D.