Cho hai đa thức \(A=5{{x...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để cộng trừ hai đa thức ta nhóm các hạng tử đồng dạng sau đó rút gọn.

-        Áp dụng định nghĩa bậc của đa thức để tìm bậc của hai đa thức P và Q.

-        Thay các giá trị của biến để tìm giá trị của đa thức.

-        Để chứng minh đa thức T luôn không âm thì ta cần chỉ ra \(T\ge 0\) với \(\forall x,y\).

Giải chi tiết:

\(A=5{{x}^{2}}-3xy+7{{y}^{2}}\) và \(B=6{{x}^{2}}-8xy+9{{y}^{2}}\). Ta có:

\(\begin{align}  & a)\ \ P=A+B=5{{x}^{2}}-3xy+7{{y}^{2}}+6{{x}^{2}}-8xy+9{{y}^{2}} \\  & \ \ \ \ \ \ \ =\left( 5{{x}^{2}}+6{{x}^{2}} \right)-\left( 3xy+8xy \right)+\left( 7{{y}^{2}}+9{{y}^{2}} \right) \\  & \ \ \ \ \ \ \ =11{{x}^{2}}-11xy+16{{y}^{2}}. \\  & Q=A-B=5{{x}^{2}}-3xy+7{{y}^{2}}-\left( 6{{x}^{2}}-8xy+9{{y}^{2}} \right) \\  & \ \ \ =5{{x}^{2}}-3xy+7{{y}^{2}}-6{{x}^{2}}+8xy-9{{y}^{2}} \\  & \ \ \ =\left( 5{{x}^{2}}-6{{x}^{2}} \right)+\left( -3xy+8xy \right)+\left( 7{{y}^{2}}-9{{y}^{2}} \right) \\  & \ \ \ =-{{x}^{2}}+5xy-2{{y}^{2}}. \\ \end{align}\)

Bậc của P bằng 2, bậc của Q bằng 2.

\(\begin{align}  & b)\ M=P-Q=11{{x}^{2}}-11xy+16{{y}^{2}}-\left( -{{x}^{2}}+5xy-2{{y}^{2}} \right) \\  & \ \ \ \ \ \ \ =11{{x}^{2}}-11xy+16{{y}^{2}}+{{x}^{2}}-5xy+2{{y}^{2}} \\  & \ \ \ \ \ \ \ =\left( 11{{x}^{2}}+{{x}^{2}} \right)+\left( -11xy-5xy \right)+\left( 16{{y}^{2}}+2{{y}^{2}} \right) \\  & \ \ \ \ \ \ \ =12{{x}^{2}}-16xy+18{{y}^{2}}. \\ \end{align}\)

Thay \(x=-1\) và \(y=-2\) vào M ta được:  \(M=12{{\left( -1 \right)}^{2}}-16\left( -1 \right)\left( -2 \right)+18{{\left( -2 \right)}^{2}}=52.\)

\(\begin{align}  & c)\ T=M-N=12{{x}^{2}}-16xy+18{{y}^{2}}-\left( 3{{x}^{2}}-16xy+14{{y}^{2}} \right) \\  & \ \ \ \ \ \ \ =12{{x}^{2}}-16xy+18{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}+16xy-14{{y}^{2}} \\  & \ \ \ \ \ \ \ =\left( 12{{x}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)+\left( -16xy+16xy \right)+\left( 18{{y}^{2}}-14{{y}^{2}} \right) \\  & \ \ \ \ \ \ \ =9{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}. \\ \end{align}\)

Vì \(\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}\ge 0 \\  & {{y}^{2}}\ge 0 \\ \end{align} \right.\forall x,y\Rightarrow 9{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}\ge 0\forall x,y\Rightarrow T\ge 0\forall x,y\).  Vậy T luôn không âm với \(\forall x,y\).