Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

Giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Khi đó \(\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SBA}={{60}^{0}}\)

Suy ra \(SA=AB\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}\). Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có: \(\left\{\begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

Trong (SAC) dựng \(OM\bot SC\,\,\left( 1 \right)\) ta có : \(OM\subset \left( SAC \right)\Rightarrow OM\bot BD\,\,\left( 2 \right)\) . Từ (1) và (2) suy ra \(OM\) là đường vuông góc chung \(BD\) và \(SC\).

Ta có \(\Delta CAS\backsim \Delta CMO\ \ \left( g-g \right)\Rightarrow \frac{SC}{CO}=\frac{SA}{MO}\Rightarrow OM=\frac{SA.OC}{SC}\)\(=\frac{a\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{30}}{10}.\)

Chọn D.