Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm số hạng tổng quát và chứng minh dãy số đó tăng (giảm) và bị chặn.

Giải chi tiết:

\({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}\)

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {{{u_n} + 1} \over 2} - {u_n} = {{1 - {u_n}} \over 2} = {1 \over 2} - {{{u_n}} \over 2}\)

 Lại có : \({u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {1 \over 2} + {{{u_n}} \over 2} - {u_n} = {{{u_n}} \over 2} + {1 \over 2} - {{{u_{n - 1}}} \over 2} - {1 \over 2} = {1 \over 2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\)

Tương tự ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = {1 \over 2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)\)

Tiếp tục như vậy ta được \({u_{n + 1}} - {u_n} = {1 \over {{2^{n - 1}}}}\left( {{u_2} - {u_1}} \right)\)

Ta có: \({u_2} = {{{u_1} + 1} \over 2} = {3 \over 2} \Rightarrow {u_2} - {u_1} =  - {1 \over 2}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} =  - {1 \over {{2^n}}} < 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

\({u_{n + 1}} - {u_n} =  - {1 \over {{2^n}}} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} - {1 \over {{2^n}}}\)

Mà

\(\eqalign{  & {u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1 \Rightarrow {u_n} = 2\left( {{u_n} - {1 \over {{2^n}}}} \right) - 1 = 2{u_n} - {1 \over {{2^{n - 1}}}} - 1  \cr  &  \Rightarrow {u_n} = {1 \over {{2^{n - 1}}}} + 1 \Rightarrow 1 < {u_n} \le 2 \cr} \)

 Vậy \(u_n\) là dãy bị chặn.

Chọn B.