Đặt \(\ln 2=a,{{\log }_{5}}4=b.\) Mệnh đề nào dưới...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\ln \left( ab \right)=\ln a+\ln b,\,{{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b,\,{{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha {{\log }_{a}}b.\) 

Giải chi tiết:

Ta có \(\ln 100=\ln \left( {{2}^{2}}{{.5}^{2}} \right)=\ln \left( {{2}^{2}} \right)+\ln \left( {{5}^{2}} \right)=2\ln 2+2\ln 5=2a+2{{\log }_{e}}5\,\,\left( 1 \right).\)

Lại có \({{\log }_{e}}5={{\log }_{e}}2.{{\log }_{2}}5=\frac{\ln 2}{{{\log }_{5}}2}=\frac{2\ln 2}{2{{\log }_{5}}2}=\frac{2\ln 2}{{{\log }_{5}}4}=\frac{2a}{b}\,\,\left( 2 \right).\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được

\(\ln 100=2a+2.\frac{2a}{b}=\frac{2ab+4a}{b}.\)

Chọn đáp án D.