Hai chất điểm M và N dao động điều hoà dọc...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp : Biến đổi lượng giác và công thức đạo hàm

Giải chi tiết:

Đáp án D

Phương trình dao động của hai chất điểm : 

\(\left\{ \matrix{ {x_1} = {A_1}c{\rm{os}}(\omega t + {\pi \over 3}) \hfill \cr {x_2} = {A_2}c{\rm{os}}(\omega t - {\pi \over 6}) = {A_2}\sin (\omega t + {\pi \over 3}) \hfill \cr} \right. \Rightarrow {{x_1^2} \over {A_1^2}} + {{x_2^2} \over {A_2^2}} = 1\)

Theo bài ra:

\(\begin{gathered}
\frac{{x_1^2}}{{36}} + \frac{{x_2^2}}{{64}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{x_1^2}}{{{6^2}}} + \frac{{x_2^2}}{{{8^2}}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{A_1} = 6cm \hfill \\
{A_2} = 8cm \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_1} = 6c{\text{os}}(\omega t + \frac{\pi }{3})\,\,cm \hfill \\
{x_2} = 8c{\text{os}}(\omega t - \frac{\pi }{6}) = 8\sin (\omega t + \frac{\pi }{3})\,\,cm \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \)

Tại thời điểm t có : 

\(\left\{ \begin{gathered}
{x_1} = 6c{\text{os}}(\omega t + \frac{\pi }{3}) = - 3\sqrt 2 \hfill \\
{v_1} = - 6\omega \sin (\omega t + \frac{\pi }{3}) = 60\sqrt 2 > 0 \hfill \\
{x_2} = 8c{\text{os}}(\omega t - \frac{\pi }{6}) = 8\sin (\omega t + \frac{\pi }{3}) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \sin (\omega t + \frac{\pi }{3}) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}{x_2} = - 4\sqrt 2 cm\)

Đạo hàm 2 vế của phương trình: \({{x_1^2} \over {36}} + {{x_2^2} \over {64}} = 1\) ta được: 

\({{2{x_1}{v_1}} \over {36}} + {{2{x_2}{v_2}} \over {64}} = 0 \Leftrightarrow {{{x_1}{v_1}} \over {18}} =  - {{{x_2}{v_2}} \over {32}} \Rightarrow {v_2} =  - {{32{x_1}{v_1}} \over {18{x_2}}} =  - {{32.\left( { - 3\sqrt 2 } \right)60\sqrt 2 } \over {18.\left( { - 4\sqrt 2 } \right)}} =  - 80\sqrt 2 cm/s\)

Vận tốc tương đối giữa hai chất điểm có độ lớn bằng : \(\Delta v = \left| {{v_1} - {v_2}} \right| = \left| {60\sqrt 2  - \left( { - 80\sqrt 2 } \right)} \right| = 140\sqrt 2 cm/s\)