Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và tính khoảng cách dựa vào các hệ thức giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông.

Giải chi tiết:

 Hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat {BAD} = {60^0}\)  nên \(\Delta ABD\) đều \( \Rightarrow AB = BC = CD = DA = BD = a;AC = a\sqrt 3 \)

Gọi \(M\) là hình chiếu của \(O\) lên \(BC,N\) là hình chiếu của \(O\) lên \(SM\) ta có:

\(\begin{array}{l}SO \bot BC,OM \bot BC\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot ON\end{array}\)

Mà

\(\begin{array}{l}ON \bot SM \Rightarrow ON \bot \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = ON\end{array}\)

Xét tam giác \(BOC\) vuông tại \(O\) có \(OM\) là đường cao nên: \(OM.BC = OB.OC\)

\( \Rightarrow OM = \dfrac{{OB.OC}}{{BC}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(ON\) là đường cao nên \(\dfrac{1}{{O{N^2}}} = \dfrac{1}{{O{M^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{{16}}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{{16}}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{{19}}{{3{a^2}}} \Rightarrow ON = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {19} }} = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\)

Chọn C.