Cho lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Vận dụng kiến thức cũ về cách chứng minh hình chữ nhật, định lý

Pitago, tính chất bắc cầu kết hợp với kiến thức lý thuyết về hình lăng

trụ đứng để thực hiện yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

a) Ta có \(A\text{E}\parallel CG,\ A\text{E}=CG\)(Vì ABCD.EFGH là hình lăng trụ đứng)

\(\Rightarrow \) Tứ giác ACGE là hình bình hành.

Mặt khác \(A\text{E}\bot mp(EFGH)\) (Vì ABCD.EFGH là hình lăng trụ đứng)

Mà \(EG\subset mp(EFGH)\Rightarrow AE\bot EG\) tại E.

Vậy tứ giác ACGE là hình chữ nhật. (đpcm)

b) Vì \(DH\bot mp(EFGH)\) nên \(DH\bot HF\) tại H (chứng minh tương tự trên)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông HDF ta có:   \(D{{F}^{2}}=D{{H}^{2}}+H{{F}^{2}}\) (1)

Vì \(A\text{E}\bot mp(ABC\text{D})\) nên \(A\text{E}\bot AC\) tại A (Chứng minh tương tự trên)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ACE ta có: \(C{{E}^{2}}=A{{\text{E}}^{2}}+A{{C}^{2}}\) (2)

Mà DH = AE

      HF = EG = AC (Các đường chéo của hai hình chữ nhật bằng nhau)       (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra DF² = CE² \(\Rightarrow DF=CE\)(đpcm)