Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = a, đáy l...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc 3 điểm: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} .\)

b) Gán hệ trục tọa độ sao cho B là gốc tọa độ, \(A \in Oy,C \in {\rm{Ox}}\). Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D trong hệ trục tọa độ đó. Sau đó tính \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \) và sử dụng công thức  \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)\) để tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)\)

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {AD}  \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  + 2\overrightarrow {AD} .\)

b)  Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:

B(0; 0), A(0; a), D(a; a); C(2a; 0).

Khi đó: \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2a, - a} \right);\overrightarrow {BD}  = \left( {a;a} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 2a.a - a.a = {a^2}.\)

Ta lại có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{AC.BD}}\)

Xét tam giác vuông ABC có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = a\sqrt 5 .\)

Xét tam giác vuông ABD có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{{a^2}}}{{a\sqrt 5 .a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\)