Kết luận nào sau đây đúng về nghiệm của hệ phương...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (1) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (2)

Giải chi tiết:

ĐK: \(x\ge \left| y \right|\)

Từ phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 6{x^2}y + 9x{y^2} - 4{y^3} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 2{x^2}y + x{y^2}} \right) - \left( {4{x^2}y - 8x{y^2} + 4{y^3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 4y\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\left( {x - 4y} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x - 4y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 4y\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(y=x\) thay vào phương trình (2) ta có \(\sqrt{2y}=2\Leftrightarrow 2y=4\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow x=y=2\,\,\,\left( tm \right)\)

Suy ra \(\left( 2;2 \right)\)là nghiệm của hệ phương trình.

+) Với \(x=4y\) thay vào phương trình (2) ta có \(\sqrt{3y}+\sqrt{5y}=2\)

Điều kiện \(y\ge 0\). Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\sqrt {3y}  + \sqrt {5y}  = 2 \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right)\sqrt y  = 2 \Leftrightarrow \sqrt y  = \frac{2}{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }} \Leftrightarrow \sqrt y  = \sqrt 5  - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow y = 8 - 2\sqrt {15}  \Rightarrow x = 32 - 8\sqrt {15} \end{array}\)

Suy ra \(\left( 32-8\sqrt{15};8-2\sqrt{15} \right)\)là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy hệ phương trình có nghiệm  \(\left( x;y \right)\) là \(\left( 2;2 \right)\), \(\left( 32-8\sqrt{15};8-2\sqrt{15} \right)\)

Chọn C.