Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nh...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm tọa độ điểm \(A = AC \cap AD\)

+) Kẻ MN // AD \(\left( {N \in AC} \right)\),  viết phương trình MN, tìm tọa độ điểm \(N = MN \cap AC\), tìm tọa độ trung điểm K của MN.

+) Kẻ \(IE \bot AD\left( {E \in AD} \right)\), tìm tọa độ điểm E là trung điểm của AD \( \Rightarrow \) Tọa độ điểm D, tính AD.

+) Tìm tọa độ điểm \(I = IE \cap AC \Rightarrow \) tọa độ điểm C, tính AC.

+) Tính \(CD = \sqrt {A{C^2} - A{D^2}}  \Rightarrow {S_{ABCD}} = AD.CD\)

Giải chi tiết:

\(A = AC \cap AD \Rightarrow \) Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 0\\x - y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow A\left( { - 3;1} \right)\)

Kẻ MN // AD \(\left( {N \in AC} \right) \Rightarrow \) phương trình MN có dạng \(x – y + c = 0\).

\(M \in MN \Rightarrow  - \frac{1}{3} - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = \frac{4}{3} \Rightarrow pt\left( {MN} \right):x - y + \frac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow 3x - 3y + 4 = 0\)

\(N = AC \cap MN \Rightarrow \) Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 0\\3x - 3y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\)

Gọi K là trung điểm của MN \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_K} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{ - \frac{1}{3} - 1}}{2} =  - \frac{4}{6}\\{y_K} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{1 + \frac{1}{3}}}{2} = \frac{4}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow K\left( { - \frac{4}{6};\frac{4}{6}} \right)\)

Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, kẻ \(IE \bot AD \Rightarrow K \in IE\)

IE vuông góc với AD nên pt(IE) có dạng  \(x + y + c = 0.\)

\(K \in IE \Rightarrow  - \frac{4}{6} + \frac{4}{6} + c = 0 \Leftrightarrow c = 0 \Rightarrow pt\left( {IE} \right):x + y = 0\)

\(E = IE \cap AD \Rightarrow \) tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - 2;2} \right)\) là trung điểm của AD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_E} - {x_A} =  - 1\\{y_D} = 2{y_E} - {y_A} = 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 1;3} \right) \Rightarrow AD = \sqrt {{{\left( { - 1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \)

\(I = AC \cap IE \Rightarrow \) Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 0 \Rightarrow I\left( {0;0} \right)\) là trung điểm của AC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2{x_I} - {x_A} = 3\\{y_C} = 2{y_I} - {y_A} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow C\left( {3; - 1} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( {3 + 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}}  = 2\sqrt {10} \)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow CD = \sqrt {A{C^2} - A{D^2}}  = \sqrt {40 - 8}  = 4\sqrt 2 \\{S_{ABCD}} = AD.CD = 2\sqrt 2 .4\sqrt 2  = 16\end{array}\)

Chọn B.