Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là D ≠ 0 \(\rightarrow\)\(x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}\)

+ Tính giá trị nhỏ nhất của x² + y²

Giải chi tiết:

Ta có: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right| = 5 \ne 0\)

\(\begin{array}{l}{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - a}&{ - 1}\\{a + 1}&2\end{array}} \right| = 4 - 2{\rm{a}} + a + 1 = 5 - a\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{2 - a}\\1&{a + 1}\end{array}} \right| = 2{\rm{a}} + 2 - 2 + a = 3{\rm{a}}\end{array}\)

Vì D ≠ 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{5 - a}}{5};y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{3{\rm{a}}}}{5}\)

Khi đó: \({x^2} + {y^2} = {\left( {\frac{{5 - a}}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3{\rm{a}}}}{5}} \right)^2} = \frac{{25 - 10{\rm{a}} + 10{{\rm{a}}^2}}}{{25}} = \frac{{10}}{{25}}\left( {{a^2} - a} \right) + 1 = \frac{2}{5}{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{9}{{10}} \ge \frac{9}{{10}}\)

Dấu “ = ’’ xảy ra \(\Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\)

Chọn C