Tập nghiệm của bất phương trình\({\left( {7 + 5\sq...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\), đưa bất phương trình đã cho về bất phương trình bậc ba ẩn t.

Giải chi tiết:

Ta có \(3 + 2\sqrt 2  = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2};\,\,7 + 5\sqrt 2  = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^3}\)

Đặt \(t = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó bất phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}
{t^3} + \left( {\sqrt 2 - 5} \right){t^2} + 3t + 1 - \sqrt 2 \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + \left( {\sqrt 2 - 4} \right)t - 1 + \sqrt 2 } \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 1 - \sqrt 2 } \right)\left( {t + 2\sqrt 2 - 3} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
t - 1 \ge 0\\
{t^2} + \left( {\sqrt 2 - 4} \right)t - 1 + \sqrt 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
t - 1 \le 0\\
{t^2} + \left( {\sqrt 2 - 4} \right)t - 1 + \sqrt 2 \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
t \ge 1\\
\left[ \begin{array}{l}
t \ge 1 + \sqrt 2 \\
t \le 3 - 2\sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
t \le 1\\
3 - 2\sqrt 2 \le t \le 1 + \sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t \ge 1 + \sqrt 2 \\
3 - 2\sqrt 2 \le t \le 1
\end{array} \right..\\
+ )\,\,3 - 2\sqrt 2 \le t \le 1 \Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 2 \le {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^x} \le 1 \Leftrightarrow {\log _{1 + \sqrt 2 }}\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) \le x \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 0\\
+ )\,\,\,t \ge 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^x} \ge 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow x \ge 1
\end{array}\)

  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ { - 2;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 0\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c =  - 1.\)

Chọn D.