Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _{{1 \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\) và \({\log _a}x \le {\log _a}y \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  0 < a < 1 \hfill \cr   x \ge y \hfill \cr}  \right.,\) rút y theo x, đưa biểu thức P chỉ còn biến x.

+) Đưa biểu thức P về dạng \(P \ge f\left( x \right),\) tìm GTNN của biểu thức f(x).

Giải chi tiết:

\({\log _{{1 \over 3}}}x + {\log _{{1 \over 3}}}y \le {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} + y} \right) \Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {xy} \right) \le {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} + y} \right) \Leftrightarrow xy \ge {x^2} + y \Leftrightarrow y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2}\)

Với x = 1 ta có \(0 \ge 1\) (Vô lý) \( \Rightarrow x \ne 1\).

Ta có \(y\left( {x - 1} \right) = {x^2} \ge 0,\)  mà \(y > 0 \Rightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.\)  Vậy \(x > 1\)

Khi đó ta có :

\(P = 3x + 2y = {{\left( {3x + 2y} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}} = {{3x\left( {x - 1} \right) + 2y\left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}} \ge {{3{x^2} - 3x + 2{x^2}} \over {x - 1}} = {{5{x^2} - 3x} \over {x - 1}} = f\left( x \right)\,\,\,\forall x > 1\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {{5{x^2} - 3x} \over {x - 1}} = 5x + 2 + {2 \over {x - 1}}\,\,\,\left( {x > 1} \right)\) ta có

\(f'\left( x \right) = 5 - {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{5{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 1 + {{\sqrt {10} } \over 5} \hfill \cr   x = 1 - {{\sqrt {10} } \over 5} \hfill \cr}  \right.\)

BBT :

Dựa vào BBT ta thấy

\(\eqalign{  & \mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {1 + {{\sqrt {10} } \over 5}} \right) = 5\left( {1 + {{\sqrt {10} } \over 5}} \right) + 2 + {2 \over {1 + {{\sqrt {10} } \over 5} - 1}} = 5 + \sqrt {10}  + 2 + \sqrt {10}  = 7 + 2\sqrt {10}   \cr   &  \Rightarrow P \ge f\left( x \right) \ge 7 + 2\sqrt {10}  \Rightarrow {P_{\min }} = 7 + 2\sqrt {10}  \cr} \)

Chọn B.