Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hà...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) hoặc áp dụng tích phân tích biểu thức cần tìm

Giải chi tiết:

Ta có \(P=F\left( \frac{-\pi }{12} \right)-F\left( \frac{11\pi }{12} \right)=-\left[ F\left( 0 \right)-F\left( -\frac{\pi }{12} \right) \right]+\left[ F\left( \pi  \right)-F\left( \frac{11\pi }{12} \right) \right]+F\left( 0 \right)-F\left( \pi \right)\)

\(=-\int\limits_{-\frac{\pi }{12}}^{0}{\frac{1}{1+\sin 2x}\text{d}x}+\int\limits_{\frac{11\pi }{12}}^{\pi }{\frac{1}{1+\sin 2x}\text{d}x}+1\).

Ta có \(\frac{1}{1+\sin 2x}=\frac{1}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}=\frac{1}{2{{\cos }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)}\) nên\(\int\limits_{-\frac{\pi }{12}}^{0}{\frac{1}{1+\sin 2x}\text{d}x}=\left. \frac{1}{2}\tan \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right|_{-\frac{\pi }{12}}^{0}=\frac{1}{2}\left( -1+\sqrt{3} \right)\);

Và \(\int\limits_{\frac{11\pi }{12}}^{\pi }{\frac{1}{1+\sin 2x}\text{d}x}=\left. \frac{1}{2}\tan \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right|_{\frac{11\pi }{12}}^{\pi }=\frac{1}{2}\left( -1+\sqrt{3} \right)\). Vậy \(P=1\).

Chọn D