Ông An đầu tư vào thị trường nông sản số tiền là \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Khảo sát hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), tìm \({x_0}\)để hàm số đạt giá trị lớn nhất.

Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _2}\frac{{\sqrt[3]{{e.{x_0}}}}}{{{x_0} + 1}} + {\log _2}(e + 1)\).

Giải chi tiết:

\(y = (2e - x)\log x,\,\,\,(x > 0) \Rightarrow y' =  - \log x + \frac{{2e - x}}{{x\ln 10}} = \frac{{2e - x - x\log x\ln 10}}{{x\ln 10}}\)

+) Tìm nghiệm của phương trình \(y' = 0\):

\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2e - x - x\log x\ln 10}}{{x\ln 10}} = 0 \Leftrightarrow 2e - x - x\log x\ln 10 = 0 \Leftrightarrow 2e - x - x\ln x = 0 \Leftrightarrow x + x\ln x - 2e = 0\) (*)

Xét \(f(x) = x + x\ln x - 2e,\,\,x > 0 \Rightarrow f'(x) = \ln x,\,\,\,\,\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Dễ dàng kiểm tra \(x = 1\)không phải nghiệm của (*).

+) Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f(x)\) đồng biến \( \Rightarrow \)\(f(x) = 0\) có nhiều nhất 1 nghiệm

Mà \(f(e) = 0,\,\,e \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow \)\(x = e\) là nghiệm duy nhất của (*) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

+) Trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), hàm số \(f(x)\) nghịch biến

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {2e - x - x\ln x} \right) =  - 2e < 0,\,\,\,f(1) = 1 - 2e < 0\)

\( \Rightarrow f(x) \ne 0,\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\)

Vậy, phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất \(x = e\).

 *) Bảng biến thiên của hàm số \(y = (2e - x)\log x,\,\,\,(x > 0)\)

Hàm số đạt GTLN tại \(x = {x_0} = e\)

Giá trị biểu thức \(P = {\log _2}\frac{{\sqrt[3]{{e.{x_0}}}}}{{{x_0} + 1}} + {\log _2}(e + 1) = {\log _2}\frac{{\sqrt[3]{{e.e}}}}{{e + 1}} + {\log _2}(e + 1) = \frac{2}{3}{\log _2}e = \frac{2}{{3\ln 2}}\) 

Chọn: B