Cho phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x-...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Chứng minh \(\Delta '>0\).

2. Sử dụng hệ thức Vi-et.

Giải chi tiết:

1. Ta có \(\Delta '={{\left( m-2 \right)}^{2}}+6m={{m}^{2}}+2m+4={{\left( m+1 \right)}^{2}}+3>0\,\,\forall m\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m-2 \right) \\& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-6m \\\end{align} \right.\)

\(P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{\left( m-2 \right)}^{2}}+12m=4{{m}^{2}}-4m+16={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+15.\)

Vì \({{\left( 2m-1 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+15\ge 15\Leftrightarrow P\ge 15\)

Vậy \({{P}_{\min }}=15\). Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow 2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}.\)

Chọn C