a) Giải phương trình \(\sqrt{2x+3}=x.\)b) Trong mặ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa sau đó giải phương trình bằng phương pháp bình phương hai vế.

b) Tìm các tọa độ giao điểm A, B, C. Vẽ đồ thị hàm số sau đó dựa vào đồ thị hàm số để tính diện tích tam giác ABC cần tính.

c) Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: \(S=pr\ \ \ \left( p=\frac{a+b+c}{2} \right).\)

+) Chu vi đường tròn bán kính \(r:\ \ C=2\pi r.\)

d) Thể tích hình nón có đường sinh \(l\) và bán kính đáy \(r\) là: \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h\) với \(h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}.\)  

Giải chi tiết:

a) Điều kiện: \(2x+3\ge 0\Leftrightarrow x\ge -\frac{3}{2}.\)

\(Pt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
2x + 3 = {x^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} - 2x - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\;\;\left( {tm} \right).\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=3.\)

b) 

A, B lần lượt là giao điểm của \(\left( {{d}_{1}} \right)\) và \(\left( {{d}_{2}} \right)\) với trục Oy nên \(A\left( 0;\ {{y}_{A}} \right),\ \ B\left( 0;\ {{y}_{B}} \right).\)

\(\begin{align}  & A\in \left( {{d}_{1}} \right)\Rightarrow {{y}_{A}}=0-2=-2\Rightarrow A\left( 0;\ 2 \right). \\ & B\in \left( {{d}_{2}} \right)\Rightarrow {{y}_{B}}=\frac{3}{2}.0+3=3\Rightarrow B\left( 0;\ 3 \right). \\\end{align}\)

C là giao điểm của \(\left( {{d}_{1}} \right)\) và \(\left( {{d}_{2}} \right)\) nên hoành độ của điểm C là nghiệm của phương trình:

\(\begin{align}  & -x-2=\frac{3}{2}x+3\Leftrightarrow \frac{5}{2}x=-5\Leftrightarrow x=-2. \\ & \Rightarrow C\left( 2;\ 0 \right). \\\end{align}\)

Dựa vào hình vẽ ta có:

\(\begin{align}  & {{S}_{ABC}}={{S}_{OBC}}+{{S}_{OAC}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}OB.OC+\frac{1}{2}OA.OC \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}.\left| {{y}_{B}} \right|.\left| {{x}_{C}} \right|+\frac{1}{2}.\left| {{y}_{A}} \right|.\left| {{x}_{C}} \right| \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}.3.2+\frac{1}{2}.2.2=5. \\\end{align}\)

c)

Ta có: \(A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{8}^{2}}+{{15}^{2}}=289;\ \ B{{C}^{2}}={{17}^{2}}=289.\)

\(\Rightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}=289\Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác vuông tại \(A.\)

Diện tích tam giác \(ABC:\ \ {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.8.15=60\ c{{m}^{2}}.\)

Nửa chu vi tam giác \(ABC:\ \ p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{8+15+17}{2}=20\ cm.\)

\(\Rightarrow \) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC:\ \ r=\frac{{{S}_{ABC}}}{p}=\frac{60}{20}=3\ cm.\)

\(\Rightarrow \) Chu vi đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC:\ \ C=2\pi r=2\pi .3=6\pi \ cm.\)

d) Bán kính đáy của hình nón là: \(r=\frac{C}{2\pi }=\frac{6\pi }{2\pi }=3\ cm.\)

Chiều cao của hình nón: \(h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4\ cm.\)

Thể tích của hình nón cần tính là: \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.3}^{2}}.4=12\pi \ c{{m}^{3}}.\)

Chọn A