Cho hình chóp  S.ABC có đáy là t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\)

b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(SA\), chứng minh \(d\left( {SB;CM} \right) = d\left( {S;\left( {MNC} \right)} \right)\).

Sử dụng phương pháp đổi điểm, đưa về tính khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {MNC} \right)\).

Giải chi tiết:

có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

b)  Gọi \(N\) là trung điểm của \(SA\) ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).

\( \Rightarrow MN//SB \Rightarrow d\left( {SB;CM} \right) = d\left( {SB;\left( {MNC} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {MNC} \right)} \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}SA \cap \left( {CMN} \right) = N \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S;\left( {CMN} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {CMN} \right)} \right)}} = \dfrac{{SN}}{{AN}} = 1\\ \Rightarrow d\left( {S;\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {CMN} \right)} \right)\end{array}\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) có \(AH \bot CM\,\,\left( {H \in CM} \right)\).

Trong \(\left( {AHN} \right)\) kẻ \(AK \bot NH\,\,\left( {K \in NH} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AH\\CM \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {AHN} \right) \Rightarrow CM \bot AK\).

\(\left\{ \matrix{
AK \bot CM \hfill \cr
AK \bot NH \hfill \cr} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {CMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {CMN} \right) = AK} \right)\)

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,AE\).

Ta có: \({S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}MF.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}BE.AC = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{{2a.2a}}{4} = {a^2}\).

Ta có: \(MC = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}}  = \sqrt {4{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 5 \).

Lại có \({S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}AH.MC \Rightarrow AH = \dfrac{{2{S_{AMC}}}}{{MC}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHN\) ta có :

\(AK = \dfrac{{AH.AN}}{{\sqrt {A{H^2} + A{N^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{2a}}{3}\).

Vậy \(d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{2a}}{3}\).