Giải phương trình: \(\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh bất đẳng thức \(\sqrt a  + \sqrt b  \le \sqrt {2\left( {a + b} \right)} \) với \(a \ge 0\,\,;\,\,b \ge 0\) từ đó áp dụng để chứng minh \(\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt x  + \sqrt y  + 2\).

Vậy \(\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  = \sqrt x  + \sqrt y  + 2\)chính là trường hợp dấu ‘=’ xảy ra.

Giải chi tiết:

Giải phương trình: \(\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  = \sqrt x  + \sqrt y  + 2\)

+) Với \(a \ge 0\,\,;\,\,b \ge 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab}  + b \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab}  \Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt a  + \sqrt b  \le \sqrt {2\left( {a + b} \right)} \;\;\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi \(a = b.\)

Áp dụng giải bài toán ta có:

+) Điều kiện: \(x\,,y \ge 0\,\,;\,\,x + y - 4 \ge 0\,\,;\,\,x - y + 4 \ge 0\,\,;\,\, - x + y + 4 \ge 0\,\)

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:

\(\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  \le \sqrt {2\left( {x + y - 4 + x - y + 4} \right)}  = 2\sqrt x \)    (1)

\(\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt {2\left( {x + y - 4 - x + y + 4} \right)}  = 2\sqrt y \)    (2)

\(\sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt {2\left( {x - y + 4 - x + y + 4} \right)}  = 4\)    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

\(2\sqrt {x + y - 4}  + 2\sqrt {x - y + 4}  + 2\sqrt { - x + y + 4}  \le 2\sqrt x  + 2\sqrt y  + 4\)

\( \Rightarrow \sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt x  + \sqrt y  + 2\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = x - y + 4\\x + y - 4 =  - x + y + 4\\x - y + 4 =  - x + y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 8\\2x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 4\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = y = 4.\)

Chọn A.