Giải phương trình: \(\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh bất đẳng thức $\sqrt a  + \sqrt b  \le \sqrt {2\left( {a + b} \right)}$ với $a \ge 0\,\,;\,\,b \ge 0$ từ đó áp dụng để chứng minh $\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt x  + \sqrt y  + 2$.

Vậy $\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  = \sqrt x  + \sqrt y  + 2$chính là trường hợp dấu ‘=’ xảy ra.

Giải chi tiết:

Giải phương trình: $\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  = \sqrt x  + \sqrt y  + 2$

+) Với $a \ge 0\,\,;\,\,b \ge 0$ ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab}  + b \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab}  \Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt a  + \sqrt b  \le \sqrt {2\left( {a + b} \right)} \;\;\;\;\;\left( * \right)\end{array}$

Dấu ‘=’ xảy ra khi $a = b.$

Áp dụng giải bài toán ta có:

+) Điều kiện: $x\,,y \ge 0\,\,;\,\,x + y - 4 \ge 0\,\,;\,\,x - y + 4 \ge 0\,\,;\,\, - x + y + 4 \ge 0\,$

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:

$\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  \le \sqrt {2\left( {x + y - 4 + x - y + 4} \right)}  = 2\sqrt x$    (1)

$\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt {2\left( {x + y - 4 - x + y + 4} \right)}  = 2\sqrt y$    (2)

$\sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt {2\left( {x - y + 4 - x + y + 4} \right)}  = 4$    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

$2\sqrt {x + y - 4}  + 2\sqrt {x - y + 4}  + 2\sqrt { - x + y + 4}  \le 2\sqrt x  + 2\sqrt y  + 4$

$\Rightarrow \sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt x  + \sqrt y  + 2$

Dấu ‘=’ xảy ra khi: $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = x - y + 4\\x + y - 4 =  - x + y + 4\\x - y + 4 =  - x + y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 8\\2x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 4$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = y = 4.$

Chọn A.