Cho hàm số bậc nhất \(y=\left( 2m-1 \right)x+3\) c...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay giá trị \(m=\frac{3}{2}\) vào công thức và vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.

b)  Tìm giao điểm M  của hai đường thẳng đã cho. Để ba đường thẳng đồng quy thì (d)  phải đi qua M.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (d)  để tìm m.

c) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (d) và các trục tọa độ sau đó dựa vào công thức tính diện tích tam giác vuông để tìm m.

Ta có: \({{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB.\)

Giải chi tiết:

a) Vẽ đồ thị hàm số \(m=\frac{3}{2}.\)

Với \(m=\frac{3}{2}\) ta có: \(\left( d \right):\ y=2x+3.\)

Ta có bảng giá trị:

 Đồ thị của đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(\left( 0;\ 3 \right)\) và \(\left( -1;\ 1 \right).\)

b) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) và hai đường thẳng \(y=x+3\) và \(y=2x+1\) đồng quy?

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(y=x+3\) và \(y=2x+1\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
y = x + 3\\
y = 2x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
y = x + 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 5
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;\;5} \right).\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) và hai đường thẳng \(y=x+3,\ \ y=2x+1\) đồng quy \(\Leftrightarrow A\left( 2;\ 5 \right)\in \left( d \right).\)

\(\Rightarrow 5=\left( 2m-1 \right).2+3\Leftrightarrow 2\left( 2m-1 \right)=2\Leftrightarrow 2m-1=1\Leftrightarrow m=1.\)

Vậy \(m=1\) thỏa mãn bài toán.

c) Gọi hai điểm \(A\) và \(B\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với lần lượt hai trục \(Ox,\ Oy.\) Tìm \(m\) để diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(3\)  (đvdt)?

Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nên \(2m-1\ne 0\Leftrightarrow m\ne \frac{1}{2}.\)

Gọi hai điểm \(A\) và \(B\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với lần lượt hai trục \(Ox,\ Oy.\)

\(\Rightarrow A\left( -\frac{3}{2m-1};\ 0 \right),\ \ B\left( 0;\ 3 \right)\)

Khi đó ta có \(\Delta OAB\) vuông tại \(O.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 3\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\left| { - \frac{3}{{2m - 1}}} \right|.3 = 3 \Leftrightarrow \frac{3}{{\left| {2m - 1} \right|}} = 2\\
\Leftrightarrow \left| {2m - 1} \right| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2m - 1 = \frac{3}{2}\\
2m - 1 = - \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{5}{4}\;\;\left( {tm} \right)\\
m = -\frac{1}{4}\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(m=\frac{5}{4},\ \ m=-\frac{1}{4}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn B