Trên mặt phẳng cho hai điểm P, Q phân biệ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi k là số đường thẳng đi qua P và 10 – k là số đường thẳng đi qua Q (k ∈ ℕ, k ≤ 10)

Đường thẳng đầu tiên đi qua P chia mặt phẳng thành 2 miền

Vì các đường thẳng không trùng nhau nên mỗi đường thẳng tiếp theo đi qua P sẽ cắt qua 2 miền đã có, và chia mỗi miền này thành 2 miền nhỏ hơn, do đó tổng số miền tăng thêm 2.

Do đó, k đường thẳng đi qua P sẽ chia mặt phẳng thành 2k miền.

Nếu k = 10 thì ta có 20 miền                                                                                                  (1)

Nếu k ≤ 9:

Ta thấy: Nếu một đường thẳng được vẽ thêm và cắt các đường thẳng đã có tại n điểm phân biệt thì đường thẳng mới sẽ đi qua n + 1 miền đã có, do đó sẽ tạo thêm n + 1 miền mới

Ta xét 10 – k đường thẳng đi qua Q:

Đường thẳng đầu tiên đi qua Q cắt k đường thẳng đã có tại k điểm phân biệt và tạo thêm k + 1 miền mới

⇒ Tổng số miền là 2k + k + 1 = 3k + 1 (miền)

Từ đường thẳng thứ 2 đi qua Q trở đi, mỗi đường thẳng đi qua Q sẽ cắt các đường thẳng đã có tại tối đa k + 1 điểm phân biệt và tạo thêm k + 2 miền mới

Do đó tổng số miền sẽ là 3k + 1 + (9 – k)(k + 2) = –k² + 10k + 19 = –(k – 5)² + 44 ≤ 44     (2)

So sánh (1) và (2) ta thấy số miền tối đa có thể được là 44 miền, đạt được khi k = 5